\( \sec^4 x \)의 적분

유도 및 평가

다음 적분을 구합니다:

\[ \int \sec^4 x \, dx \]

피적분 함수 \( \sec^4 x \)를 곱의 형태인 \( \sec^2 x \cdot \sec^2 x \)로 씁니다:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int \sec^2 x \cdot \sec^2 x \, dx \]

삼각함수 항등식 \( \sec^2 x = \tan^2 x + 1 \)을 사용하여 적분식을 다음과 같이 씁니다:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int (\tan^2 x + 1) \sec^2 x \, dx \]

피적분 함수를 전개하고 적분의 합으로 다시 씁니다:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int \tan^2 x \sec^2 x \, dx + \int \sec^2 x \, dx \]

치환적분을 사용합니다: \( u = \tan x \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) 또는 \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} \, du \)가 됩니다. 이를 대입하면 다음과 같습니다:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int u^2 \sec^2 x \left(\dfrac{1}{\sec^2 x}\right) du + \int \sec^2 x \, dx \]

식을 정리합니다:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int u^2 \, du + \int \sec^2 x \, dx \]

표준 적분 공식 \( \displaystyle \int u^2 \, du = \dfrac{1}{3} u^3 \)과 일반적인 적분 \( \displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x \)를 사용하여 평가합니다:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \dfrac{1}{3} u^3 + \tan x + c \]

여기서 \( c \)는 적분 상수입니다.

\( u = \tan x \)를 다시 대입하여 최종 해답을 구합니다: